cô làm rồi em ơi https://olm.vn/cau-hoi/bai-3-tu-giac-abcd-co-goc-c-goc-d-90-do-chung-minh-rang-ac2-bd-ab2cd2.8140260328277

Kẻ đường kính BB’. Nối B’A, B’D, B’C.

Ta có: = 90° ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ AC // B'D ( cùng vuông góc với BD)

Suy ra, tứ giác ADB’C là hình thang

Vì ADB’C nội tiếp đường tròn (O) nên ADB’C là hình thang cân

⇒ CD = AB'

⇒  A B 2 + C D 2 = A B 2 + A B ' 2

Mà tam giác BAB’ vuông tại A do  = 90° ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒  A B 2 + C D 2 = A B 2 + A B ' 2 = 2 R 2 = 4 R 2  (đpcm)

Kéo dài DA và CB lần lượt về phía A và B cắt nhau tại E

Xét tam giác DCE có \(\widehat{DEC}\) = 180⁰ - (\(\widehat{EDC}\) + \(\widehat{ECD}\)) = 180⁰- 90⁰ = 90⁰

                      ⇒\(\Delta\)DEC vuông tại E

Xét \(\Delta\)AEB Theo pytago ta có: AE² + BE² = AB²

Tương tự ta có:                       DE² + CE² = DC²

Cộng vế với vế ta có:              AE² + BE² + DE² + CE² = AB²+DC²

                                             AE² + CE²+BE²+DE² = AB²+DC² (1)

Xét \(\Delta\)AEC theo pytago ta có: AE²+ CE² = AC²

Tương tự ta có:                      BE² + DE² = BD²

Cộng vế với vế ta có:             AE² + CE² + BE²+ DE² = AC² + BD² (2)

Từ (1) và (2) ta có: AC² + BD² = AB² + DC²(đpcm)

\(AB^2+CD^2-\left(BC^2+DA^2\right)=\overrightarrow{AB}^2+\overrightarrow{CD}^2-\overrightarrow{BC}^2-\overrightarrow{AD}^2\)

\(=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\right)+\left(\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{BC}\right)\left(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}\right)\)

\(=\overrightarrow{DB}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)+\overrightarrow{DB}\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DC}\right)\)

\(=\overrightarrow{DB}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DC}\right)\)

\(=2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}\) (đpcm)

Giả sử AB ⊥ CD ta phải chứng minh:

Thật vậy, kẻ BE ⊥ CD tại E, do AB⊥CD ta suy ra CD ⊥ (ABE) nên CD ⊥ AE. Áp dụng định lí Py-ta-go cho các tam giác vuông AEC, BEC, AED và BED ta có:

Nếu A C 2   −   A D 2   =   B C 2   −   B D 2   =   k 2  thì trong mặt phẳng (ACD) điểm A thuộc đường thẳng vuông góc với CD tại điểm H trên tia ID với I là trung điểm của CD sao cho 

Tương tự điểm B thuộc đường thẳng vuông góc với CD cũng tại điểm H nói trên. Từ đó suy ra CD vuông góc với mặt phẳng (ABH) hay CD ⊥ AB.

Nếu  A C 2   −   A D 2   =   B C 2   −   B D 2   = -   k 2  thì ta có và đưa về trường hợp xét như trên  A C 2   −   A D 2   =   B C 2   −   B D 2   =   - k 2 .

Chú ý. Từ kết quả của bài toán trên ta suy ra:

Tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau khi và chỉ khi A B 2   +   C D 2   =   A C 2   +   B C 2 .

1. xét tam giác BAD và tam giác BCA:

góc D= góc A = 90^o

góc B chung

=> tam giác BAD ~ tam giác BCA (g.g)

=> \(\dfrac{AB}{BC}\)=\(\dfrac{BD}{AB}\)

=> AB²=BD.BC